Flytte Gjennomsnittet Random Walk

Flytte gjennomsnittlige og eksponensielle utjevningsmodeller. Som et første skritt i å bevege seg ut over gjennomsnittlige modeller, kan tilfeldige gangmodeller og lineære trendmodeller, ikke-sone-mønstre og trender ekstrapoleres ved hjelp av en gjennomsnittlig eller utjevningsmodell. Den grunnleggende forutsetningen bak gjennomsnittlige og utjevningsmodeller er at tidsserien er lokalt stasjonær med et sakte varierende gjennomsnitt. Derfor tar vi et lokalt lokalt gjennomsnitt for å estimere nåverdien av gjennomsnittet og deretter bruke det som prognosen for nær fremtid. Dette kan betraktes som et kompromiss mellom den gjennomsnittlige modellen og den random-walk-uten-drift-modellen Den samme strategien kan brukes til å estimere og ekstrapolere en lokal trend. Et glidende gjennomsnitt kalles ofte en glatt versjon av den opprinnelige serien, fordi kortsiktig gjennomsnittsverdi har til formål å utjevne støtene i den opprinnelige serien Ved å justere graden av utjevning av bredde av det bevegelige gjennomsnittet, kan vi håpe å finne en slags optimal balanse mellom ytelsen til den gjennomsnittlige og tilfeldige gangmodeller Den enkleste typen gjennomsnittsmodell er det enkle, likevektede flytende gjennomsnittet. Forventningen for verdien av Y på tidspunktet t 1 som er laget på tidspunktet t, er det enkle gjennomsnittet av de nyeste m-observasjonene. Her og andre steder vil jeg bruke symbolet Y-hatten til å utgjøre en prognose av tidsserien Y laget så tidlig som mulig før en bestemt modell. Dette gjennomsnittet er sentrert i perioden t-m 1 2, noe som innebærer at estimatet av det lokale gjennomsnittet vil ha en tendens til å ligge bak den sanne verdien av det lokale gjennomsnittet med ca. m 1 2 perioder. Således sier vi at gjennomsnittsalderen for dataene i det enkle glidende gjennomsnittet er m 1 2 i forhold til perioden for prognosen beregnes dette er hvor lang tid prognosene vil ha til å ligge bak vendepunkter i dataene. For eksempel, hvis du er gjennomsnittlig de siste 5 verdiene, vil prognosene være ca 3 perioder sent i å svare på vendepunkt. Merk at hvis m 1, Den enkle glidende SMA-modellen er ekvivalent med den tilfeldige turmodellen uten vekst Hvis m er veldig stor i forhold til lengden av estimeringsperioden, er SMA-modellen tilsvarlig for den gjennomsnittlige modellen. Som med hvilken som helst parameter i en prognosemodell, er det vanlig å justere verdien av ki n for å få den beste pasienten til dataene, dvs. de minste prognosefeilene i gjennomsnitt. Her er et eksempel på en serie som ser ut til å vise tilfeldige svingninger rundt et sakte varierende middel. Først må vi prøve å passe den med en tilfeldig spasertur modellen, som tilsvarer et enkelt bevegelige gjennomsnitt på 1 sikt. Den tilfeldige turmodellen reagerer veldig raskt på endringer i serien, men ved å gjøre det plukker mye av støyen i dataene de tilfeldige svingningene samt signalet den lokale mener Hvis vi i stedet prøver et enkelt glidende gjennomsnitt på 5 vilkår, får vi et smidigere sett med prognoser. Det 5-termens enkle glidende gjennomsnittet gir betydelig mindre feil enn den tilfeldige turmodellen i dette tilfellet Gjennomsnittsalderen for dataene i dette prognosen er 3 5 1 2, slik at den har en tendens til å ligge bak vendepunkter med om lag tre perioder. For eksempel synes det å ha oppstått en nedgang i perioden 21, men prognosene vender seg ikke til flere perioder senere. langsiktige prognoser fra SMA mod el er en horisontal rett linje, akkurat som i den tilfeldige turmodellen. Således antar SMA-modellen at det ikke er noen trend i dataene. Mens prognosene fra den tilfeldige turmodellen ganske enkelt er lik den siste observerte verdien, vil prognosene fra SMA-modellen er lik et vektet gjennomsnitt av de siste verdiene. Forsikringsgrensene beregnes av Statgraphics for de langsiktige prognosene for det enkle glidende gjennomsnittet, blir ikke større enn forventningshorisonten øker. Dette er åpenbart ikke riktig. Dessverre er det ingen underliggende statistisk teori som forteller oss hvordan konfidensintervallene skal utvides for denne modellen. Det er imidlertid ikke så vanskelig å beregne empiriske estimater av konfidensgrensene for lengre horisont-prognoser. For eksempel kan du sette opp et regneark der SMA-modellen vil bli brukt til å prognose 2 trinn foran, 3 trinn foran osv. i den historiske dataprøven. Du kan deretter beregne utvalgsstandardavvikene til feilene ved hver prognose h orizon, og deretter konstruere konfidensintervaller for langsiktige prognoser ved å legge til og trekke ut multipler av passende standardavvik. Hvis vi prøver et 9-glatt simpelt glidende gjennomsnitt, får vi enda jevnere prognoser og mer av en slående effekt. Gjennomsnittsalderen er nå 5 perioder 9 1 2 Hvis vi tar et 19-årig glidende gjennomsnitt, øker gjennomsnittsalderen til 10. Merk at prognosene nå ligger nede etter vendepunkter med ca 10 perioder. Hvor mye utjevning er best for denne serien Her er et bord som sammenligner deres feilstatistikk, også inkludert et 3-årig gjennomsnitt. Modell C, det 5-årige glidende gjennomsnittet, gir den laveste verdien av RMSE med en liten margin over 3 og 9-siktene, og deres andre statistikker er nesten identiske Så, blant modeller med svært like feilstatistikk, kan vi velge om vi foretrekker litt mer respons eller litt mer glatt i prognosene. Tilbake til toppen av siden. Bronse s Enkel eksponensiell utjevning eksponentielt vektet glidende gjennomsnitt. Den enkle bevegelige gjennomsnittsmodellen beskrevet ovenfor har den uønskede egenskapen som den behandler de siste k-observasjonene, like og fullstendig ignorerer alle foregående observasjoner. Intuitivt bør tidligere data diskonteres på en gradvis måte - for eksempel bør den nyeste observasjonen få litt mer vekt enn 2. siste, og den 2. siste skal få litt mer vekt enn den 3. siste, og så videre. Den enkle eksponensielle utjevning SES-modellen oppnår dette. La oss angi en utjevningskonstant et tall mellom 0 og 1 En måte å skrive modellen på er å definere en serie L som representerer det nåværende nivået, dvs. lokal middelverdi av serien som estimert fra data til nåtid. Verdien av L til tid t beregnes rekursivt fra sin egen tidligere verdi som dette. Den nåværende glatteverdien er således en interpolasjon mellom den forrige glattede verdien og den nåværende observasjonen, hvor kontrollen av nærheten til den interpolerte verdien til de mest re cent observasjon Prognosen for neste periode er bare den nåværende glatteverdien. Tilsvarende kan vi uttrykke neste prognose direkte i forhold til tidligere prognoser og tidligere observasjoner, i en hvilken som helst av følgende ekvivalente versjoner. I den første versjonen er prognosen en interpolering mellom forrige prognose og forrige observasjon. I den andre versjonen blir den neste prognosen oppnådd ved å justere forrige prognose i retning av den forrige feilen med en brøkdel. erroren som ble gjort på tidspunktet t I den tredje versjonen er prognosen en eksponentielt vektet dvs. nedsatt glidende gjennomsnitt med rabattfaktor 1.Interpoleringsversjonen av prognoseformelen er den enkleste å bruke hvis du implementerer modellen på et regneark det passer i en enkelt celle og inneholder cellehenvisninger som peker på forrige prognose, den forrige observasjon, og cellen der verdien av er lagret. Merk at hvis 1 er SES-modellen tilsvarer en tilfeldig turmodell trevekst Hvis 0 er SES-modellen ekvivalent med middelmodellen, forutsatt at den første glattede verdien er satt lik gjennomsnittet Tilbake til toppen av siden. Gjennomsnittsalderen for dataene i den enkle eksponensielle utjevningsprognosen er 1 relativ til den perioden som prognosen beregnes for. Dette er ikke ment å være åpenbart, men det kan enkelt vises ved å evaluere en uendelig serie. Derfor har den enkle glidende gjennomsnittlige prognosen en tendens til å ligge bak vendepunkter med ca. 1 perioder. For eksempel når 0 5 Laget er 2 perioder når 0 2 Laget er 5 perioder når 0 1 Laget er 10 perioder, og så videre. For en gitt gjennomsnittsalder, dvs. mengdeforsinkelse, er den enkle eksponensielle utjevning SES-prognosen noe bedre enn den enkle bevegelsen gjennomsnittlig SMA-prognose fordi den plasserer relativt mer vekt på den siste observasjonen - det er litt mer lydhør overfor endringer som oppstod i nyere tid. For eksempel har en SMA-modell med 9 vilkår og en SES-modell med 0 2 begge en gjennomsnittlig alder av 5 for da ta i sine prognoser, men SES-modellen legger mer vekt på de siste 3 verdiene enn SMA-modellen, og samtidig gliser den ikke helt over verdier som er mer enn 9 perioder gamle, som vist i dette diagrammet. En annen viktig fordel ved SES-modellen over SMA-modellen er at SES-modellen bruker en utjevningsparameter som er kontinuerlig variabel, slik at den enkelt kan optimaliseres ved å bruke en solveralgoritme for å minimere gjennomsnittlig kvadratfeil. Den optimale verdien av SES-modellen for denne serien viser seg å være 0 2961, som vist her. Gjennomsnittlig alder av dataene i denne prognosen er 1 0 2961 3 4 perioder, noe som ligner på et 6-rent simpelt gjennomsnitt. De langsiktige prognosene fra SES-modellen er en horisontal rettlinje som i SMA-modellen og den tilfeldige turmodellen uten vekst. Vær imidlertid oppmerksom på at konfidensintervallene som beregnes av Statgraphics, divergerer nå på en rimelig måte, og at de er vesentlig smalere enn konfidensintervaller for rand om gangmodellen SES-modellen antar at serien er noe mer forutsigbar enn den tilfeldige turmodellen. En SES-modell er egentlig et spesielt tilfelle av en ARIMA-modell, slik at den statistiske teorien om ARIMA-modeller gir et godt grunnlag for å beregne konfidensintervall for SES-modell Spesielt er en SES-modell en ARIMA-modell med en ikke-sesongforskjell, en MA 1-term, og ingen konstant term, ellers kjent som en ARIMA 0,1,1-modell uten konstant. MA 1-koeffisienten i ARIMA-modellen tilsvarer kvantum 1 i SES-modellen For eksempel, hvis du passer på en ARIMA 0,1,1 modell uten konstant til serien analysert her, viser den estimerte MA 1 koeffisienten seg å være 0 7029, som nesten er nesten en minus 0 2961. Det er mulig å legge til grunn for en ikke-null konstant lineær trend på en SES-modell. For å gjøre dette, bare angi en ARIMA-modell med en ikke-soneforskjell og en MA 1-term med en konstant, dvs. en ARIMA 0,1,1 modell med konstant De langsiktige prognosene vil da har en trend som er lik den gjennomsnittlige trenden observert over hele estimeringsperioden. Du kan ikke gjøre dette i forbindelse med sesongjustering, fordi sesongjusteringsalternativene er deaktivert når modelltypen er satt til ARIMA. Du kan imidlertid legge til en konstant lang langsiktig eksponensiell trend til en enkel eksponensiell utjevningsmodell med eller uten sesongjustering ved å benytte inflasjonsjusteringsalternativet i prospektprosedyren. Den aktuelle inflasjonsprosentveksten per periode kan estimeres som hellingskoeffisienten i en lineær trendmodell som er montert på dataene i sammen med en naturlig logaritme transformasjon, eller det kan være basert på annen uavhengig informasjon om langsiktige vekstutsikter. Tilbake til toppen av siden. Brett s Lineær, dvs. dobbel eksponensiell utjevning. SMA-modellene og SES-modellene antar at det ikke er noen trend av noe som helst i dataene som vanligvis er OK eller i det minste ikke for dårlig for 1-trinns prognoser når dataene er relativt nei sy, og de kan endres for å inkorporere en konstant lineær trend som vist over. Hva med kortsiktige trender Hvis en serie viser en varierende veksthastighet eller et syklisk mønster som skiller seg klart ut mot støyen, og hvis det er behov for å prognose mer enn 1 år framover, kan estimering av en lokal trend også være et problem. Den enkle eksponensielle utjevningsmodellen kan generaliseres for å oppnå en lineær eksponensiell utjevning av LES-modell som beregner lokale estimater av både nivå og trend. Den enkleste tidsvarierende trenden modellen er Brown s lineær eksponensiell utjevningsmodell, som bruker to forskjellige glatte serier som er sentrert på forskjellige tidspunkter. Forutsigelsesformelen er basert på en ekstrapolering av en linje gjennom de to sentrene. En mer sofistikert versjon av denne modellen, Holt s, er diskuteres nedenfor. Den algebraiske formen av Browns lineære eksponensielle utjevningsmodell, som for den enkle eksponensielle utjevningsmodellen, kan uttrykkes i en rekke forskjellige, men e kvivalente former Standardformen til denne modellen uttrykkes vanligvis som følger. La S betegne den enkeltglattede serien som er oppnådd ved å anvende enkel eksponensiell utjevning til serie Y Det er verdien av S ved period t gitt av. Husk at under enkel eksponensiell utjevning ville dette være prognosen for Y ved periode t 1 Så la S betegne den dobbeltslettede serien oppnådd ved å anvende enkel eksponensiell utjevning ved å bruke det samme til serie S. Til slutt er prognosen for Y tk for noen k 1, gis av. Dette gir e 1 0, dvs lurer litt, og la den første prognosen ligne den faktiske første observasjonen, og e 2 Y 2 Y 1 hvoretter prognosene genereres ved hjelp av ligningen over. Dette gir de samme monterte verdiene som formelen basert på S og S dersom sistnevnte ble startet med S 1 S 1 Y 1 Denne versjonen av modellen brukes på neste side som illustrerer en kombinasjon av eksponensiell utjevning med sesongjustering. Helt s lineær eksponensiell utjevning. s LES-modellen beregner lokale estimater av nivå og trend ved å utjevne de siste dataene, men det faktum at det gjør det med en enkelt utjevningsparameter, stiller en begrensning på datamønstrene som det er i stand til å passe nivået og trenden, ikke tillates å variere ved uavhengige priser Holt s LES-modellen løser dette problemet ved å inkludere to utjevningskonstanter, en for nivået og en for trenden. På et hvilket som helst tidspunkt t, som i Browns modell, er det et estimat L t på lokalt nivå og et estimat T t av den lokale trenden Her beregnes de rekursivt fra verdien av Y observert ved tid t og de forrige estimatene av nivået og trenden ved to likninger som gjelder eksponensiell utjevning til dem separat. Hvis estimert nivå og trend ved tid t-1 er henholdsvis L t 1 og T t 1, vil prognosen for Y t som ville vært blitt gjort på tidspunktet t-1 være lik L t-1 T t 1 Når den virkelige verdien observeres, vil det oppdaterte estimatet av nivå beregnes rekursivt ved å interpolere mellom Y t og dets prognose, L t-1 T t-1, med vekt på og 1. Forandringen i estimert nivå, nemlig L t L t 1, kan tolkes som en støyende måling av trend på tiden t Det oppdaterte estimatet av trenden beregnes deretter rekursivt ved å interpolere mellom L t L t 1 og det forrige estimatet av trenden, T t-1 ved bruk av vekt og 1.Tolkningen av trend-utjevningskonstanten er analog med den for nivåutjevningskonstanten. Modeller med små verdier antar at trenden endrer seg bare veldig sakte over tid, mens modeller med større antar at det endrer seg raskere. En modell med en stor mener at den fjerne fremtiden er veldig usikker, fordi feil i trendberegning blir ganske viktig når prognoser for mer enn en periode fremover. Tilbake til toppen av side. Utjevningskonstantene og kan estimeres på vanlig måte ved å minimere den gjennomsnittlige kvadriske feilen i 1-trinns prognosene. Når dette gjøres i Statgraphics, viser estimatene seg å være 0 3048 og 0 008. Den svært små verdien av betyr at modellen antar svært liten endring i trenden fra en periode til den neste. Så i utgangspunktet prøver denne modellen å estimere en langsiktig trend. I analogi med begrepet gjennomsnittlig alder av dataene som brukes til estimering av t Han lokale nivå av serien, er gjennomsnittsalderen for dataene som brukes til å estimere den lokale trenden, proporsjonal med 1, men ikke akkurat lik den. I dette tilfellet viser det sig å være 1 0 006 125 Dette er ikke veldig presis tall forutsatt at nøyaktigheten av estimatet ikke er virkelig 3 desimaler, men det er av samme generelle størrelsesorden som prøvestørrelsen på 100, så denne modellen er gjennomsnittlig over ganske mye historie for å estimere trenden. Prognosen nedenfor viser at LES-modellen anslår en litt større lokal trend på slutten av serien enn den konstante trenden som er estimert i SES-trendmodellen. Den estimerte verdien er nesten identisk med den som oppnås ved å montere SES-modellen med eller uten trend , så dette er nesten den samme modellen. Nå ser disse ut som rimelige prognoser for en modell som skal estimere en lokal trend. Hvis du eyeball denne plottet, ser det ut som om den lokale trenden har vendt nedover på slutten av serie Wh ved har skjedd Parametrene til denne modellen har blitt estimert ved å minimere den kvadratiske feilen i 1-trinns prognoser, ikke langsiktige prognoser, i hvilket tilfelle trenden ikke gjør stor forskjell. Hvis alt du ser på er 1 Forsinkede feil ser du ikke det større bildet av trender over si 10 eller 20 perioder. For å få denne modellen mer i tråd med vår øyeeball-ekstrapolering av dataene, kan vi manuelt justere trend-utjevningskonstanten slik at den bruker en kortere basislinje for trendestimering. For eksempel, hvis vi velger å angi 0 1, er gjennomsnittsalderen for dataene som brukes til å estimere den lokale trenden 10 perioder, noe som betyr at vi gjennomsnittsverdi trenden over de siste 20 perioder eller så Her ser prognoseplottet ut om vi stiller 0 1 mens du holder 0 3 Dette ser intuitivt rimelig ut på denne serien, selv om det er sannsynligvis farlig å ekstrapolere denne trenden mer enn 10 perioder i fremtiden. Hva med feilstatistikken Her er en modell sammenligning f eller de to modellene som er vist ovenfor, samt tre SES-modeller. Den optimale verdien av SES-modellen er ca. 0 3, men tilsvarende resultater med litt mer eller mindre respons er henholdsvis oppnådd med 0 5 og 0 2. En Holt s lineær utglatting med alfa 0 3048 og beta 0 008. B Holt s lineær utjevning med alfa 0 3 og beta 0 1. C Enkel eksponensiell utjevning med alfa 0 5. D Enkel eksponensiell utjevning med alfa 0 3. E Enkel eksponensiell utjevning med alfa 0 2.De statistikkene er nesten identiske, slik at vi virkelig ikke kan velge på grunnlag av 1-trinns prognosefeil i dataprøven. Vi må falle tilbake på andre hensyn. Hvis vi sterkt tror at det er fornuftig å basere dagens trendoverslag over hva som har skjedd i løpet av de siste 20 perioder eller så, kan vi gjøre en sak for LES-modellen med 0 3 og 0 1 Hvis vi vil være agnostiker om det er en lokal trend, kan en av SES-modellene være enklere å forklare og vil også gi mer middl e-of-the-road prognoser for de neste 5 eller 10 periodene. Tilbake til toppen av siden. Hvilken type trend-ekstrapolering er best horisontal eller lineær? Empiriske bevis tyder på at hvis dataene allerede er justert om nødvendig for inflasjon, så Det kan være uhensiktsmessig å ekstrapolere kortsiktige lineære trender veldig langt inn i fremtiden. Trender som tyder på i dag, kan løsne seg i fremtiden på grunn av ulike årsaker som forverring av produkt, økt konkurranse og konjunkturnedganger eller oppgang i en bransje. Derfor er enkel eksponensiell utjevning utføres ofte bedre ut av prøven enn det ellers kunne forventes, til tross for den naive horisontale trendenes ekstrapolering. Dampede trendmodifikasjoner av den lineære eksponensielle utjevningsmodellen brukes også i praksis til å introdusere en konservatismeddel i dens trendfremskrivninger. Den dempede trenden LES-modellen kan implementeres som et spesielt tilfelle av en ARIMA-modell, spesielt en ARIMA 1,1,2-modell. Det er mulig å beregne konfidensintervall arou nd langsiktige prognoser produsert av eksponentielle utjevningsmodeller, ved å betrakte dem som spesielle tilfeller av ARIMA-modeller Pass på at ikke alle programmer beregner konfidensintervaller for disse modellene riktig. Bredden på konfidensintervaller avhenger av RMS-feilen til modellen, ii typen av utjevning enkel eller lineær iii verdien av utjevningskonstanten s og iv antall perioder fremover du progniserer Generelt sprer intervallene raskere som blir større i SES-modellen, og de sprer seg mye raskere når de er lineære i stedet for enkle utjevning er brukt Dette emnet blir diskutert videre i ARIMA-modellene i notatene. Gå tilbake til toppen av siden. Den en-dimensjonale tilfeldige Walk. Michael Fowler, UVa Fysikk 6 8 07.Flipp et mynt, ta et skritt. Den endimensjonale tilfeldig spasertur er konstruert slik at du går langs en linje, hvert tempo er i samme lengde Før hvert trinn vri du en mynt Hvis det er hodet, tar du ett skritt fremover Hvis det er svikt, tar du ett skritt tilbake The coi n er upartisk, så sjansene for hoder eller haler er like. Problemet er å finne sannsynligheten for landing på et gitt sted etter et gitt antall trinn, og spesielt for å finne ut hvor langt unna er du i gjennomsnitt hvorfra du startet. Den tilfeldige tur er sentral for statistisk fysikk. Det er viktig å forutsi hvor fort en gass vil diffundere til en annen, hvor fort varmen vil spres i et solidt, hvor store svingninger i trykket vil være i en liten beholder og mange andre statistiske fenomener Einstein brukte det til å finne størrelsen på atomer fra den brune bevegelsen. Sannsynligheten for landing på et bestemt sted etter n trinn. La oss begynne med gå av noen få trinn, hver av enhetens lengde, og se etter et mønster. Vi definerer sannsynlighetsfunksjonen f N n som sannsynligheten for at i en tur på N trinn av enhetslengde, tilfeldig fremover eller bakover langs linjen, begynner med 0, slutter vi ved punkt n. Så vi må ende opp et sted, summen av disse sannsynligheter over n må være lik 1. Vi vil bare liste n onzero sannsynligheter. For en tur uten trinn, f 0 0 1.Det er kanskje nyttig å finne sannsynlighetene for å oppregne myntflip-sekvensene som fører til et bestemt sted. For en tre-trinns tur vil HHH lande på 3, HHT, HTH og THH vil lande på 1, og for de negative tallene bare reversere H og T Det er totalt 2 3 8 forskjellige tre-trinns turer, så sannsynlighetene for de forskjellige landingspunktene er f 3 3 1 8 bare en tur, f 3 1 3 8 tre mulige turer, f 3 1 3 8, f 3 3 1 8. For en fire-trinns tur har hver konfigurasjon av H s og T s en sannsynlighet for 4 1 16. Så f 4 4 1 16, siden bare en tur HHHH får oss der. f 4 2 fire forskjellige turer, HHHT, HHTH, HTHH og THHH, slutter ved 2.f 4 0 3 8, fra HHTT, HTHT, THHT, THTH, TTHH og HTTH. Probabilities og Pascal s Triangle. If vi faktor ut 1 2 N er det et mønster i disse sannsynlighetene. Dette er Pascal s Triangle hver oppføring er summen av de to diagonalt over Disse tallene er faktisk koeffisientene som vises i binomial e xpansion av ab N. For eksempel reflekterer raden for 2 5 f 5 n binomialkoeffisientene. For å se hvordan disse binomialkoeffisientene relaterer seg til vår tilfeldige tur, skriver vi. og tenk på det som summen av alle produktene som kan skrives ved å velge ett uttrykk fra hver brakett. Det er 2 5 32 slike vilkår å velge en av to fra hver av de fem brakettene, så koeffisienten på en 3 b 2 må være nummeret på disse 32 begrepene som har bare 3 as og 2 bs Men det er det samme som antall forskjellige sekvenser som kan skrives ved å omorganisere HHHTT, så det er klart at tilfeldige gange sannsynligheter og binomialkoeffisientene er de samme settene med tall bortsett fra at sannsynlighetene selvfølgelig må deles med 32 slik at De legger opp til en. Finn mulighetene ved å bruke den faktorielle funksjonen. Den effektive måten å beregne disse koeffisientene på er å bruke den faktoriale funksjonen. Antag at vi har fem forskjellige objekter, A, B, C, D, E. Hvor mange forskjellige sekvenser kan vi finne ABCDE, ABDCE, BDCAE, etc W ell, det første medlemmet i sekvensen kan være en av de fem. Den neste er en av de resterende fire osv. Så det totale antall forskjellige sekvenser er 54321, som heter fem faktorisk og skrevet 5. Men hvor mange forskjellige sekvenser kan vi gjør med HHHTT Med andre ord, hvis vi skrev ned alle 5 som er 120 av dem, hvor mange ville egentlig være forskjellige Siden de to T er identiske, ville vi ikke kunne fortelle hverandre sekvenser der de hadde blitt byttet, slik at vi kutter oss ned fra 120 sekvenser til 60, men de tre H s er også identiske, og hvis de var forskjellige ville det vært 3 6 forskjellige måter å ordne dem på. Siden de er identiske, kommer alle seks måter ut på samme måte, så vi må dele 60 med 6, og gir bare 10 forskjellige sekvenser av 3 H s og 2 T s. Dette samme argumentet fungerer for et hvilket som helst antall H s og T s. Totalt antall forskjellige sekvenser av m H s og n T s. er mnmn, de to faktorialene i nevnen kommer fra det faktum at omarrangering av H er blant selv, og T er blant dem, gir tilbake samme rekkefølge. Det er også verdt å nevne at i fem-trinns gange som slutter på 1, som har sannsynlighet 10 2 5, må det fjerde trinnet ha vært enten 0 eller 2 Glancing at Pascal s Triangle, ser vi at sannsynligheten for en fire-trinns tur som slutter til 0 er 6 2 4 og slutter ved 2 er 4 2 4 I begge tilfeller er sannsynligheten for at neste trinn er til 1, så den totale sannsynligheten av å nå 1 i fem trinn er 6 24 4 24 Så egenskapen til Pascal s trekant at hver oppføring er summen av de to diagonalt over er i samsvar med våre sannsynligheter. Det er verdt å visualisere denne sannsynlighetsfordelingen for å få litt føl deg for tilfeldig gang For 5 trinn, ser det ut. La oss nå vurdere en lengre tur Etter 100 trinn, hva er sannsynligheten for landing på heltallet n. Dette vil skje hvis antall fremoverstrinn overskrider antall bakoversteg av n som kan være et negativt tall. Merk at i t han generelle tilfelle, hvis det totale antall trinn N er jevnt, er begge like eller begge merkelige, så n forskjellen mellom dem er jevn og på samme måte merkelig N betyr merkelig n. Totalt antall baner som slutter ved det spesielle punktet n fra hodene og haler argumentet ovenfor, er. For å finne den faktiske sannsynligheten for å slutte ved n etter 100 trinn, må vi vite hvilken brøkdel av alle mulige baner som slutter ved n Siden myntkastet er rent tilfeldig, tar vi alle mulige stier er like sannsynlig Det totale antall mulige 100-trinns turer er. Vi har brukt Excel til å plotte forholdet antall stier som slutter med n totalt antall stier. For stier på 100 tilfeldige trinn, og finn. Den faktiske sannsynligheten for å lande tilbake på opprinnelsen viser seg å være om lag 8, som det er omtrent sannsynligheten for å lande to trinn til venstre eller høyre. Sannsynligheten for landing i de fleste ti trinn fra begynnelsen er bedre enn 70, at landingen mer enn tjue trinn unna godt under 5 . Merk Det er enkelt å lage denne grafen selv ved hjelp av Excel J ust skriv -100 i A1, deretter A1 2 i A2, deretter FACT 100 FACT 50 - A1 2 FACT 50 A1 2 2-100 i B1, dra for å kopiere disse formlene ned til rad 101 Marker deretter de to kolonnene, klikk ChartWizard osv. . Det er også verdt å plotte dette logaritmisk for å få en klarere forståelse av hvordan sannsynlighetene faller bort godt bort fra sentrum. Dette ser veldig ut som en parabola, og det er vel, for å være presis, har logaritmen til sannsynlighetsfordelingen tendens til til en parabola når N blir stor, forutsatt at n er mye mindre enn N og faktisk er dette den viktige grensen i statistisk fysikk. Den naturlige loggen av sannsynligheten for å avslutte stien ved n har en tendens til å være Cn 2 200, hvor konstanten C er sannsynligheten for å avslutte banen nøyaktig hvor den begynte. Dette betyr at sannsynligheten P n selv er gitt av. Dette kalles en Gaussisk sannsynlighetsfordeling. Det viktige å merke seg er hvor raskt det faller når avstanden fra sentrum av fordelingen overstiger 10 eller så Fjerning av en vertikal spa ce er en faktor på 100. Deriving Resultatet fra Stirling s Formel. Dette mer avanserte materialet er ikke inkludert i fysikk 152. For stor N kan eksponentiell avhengighet av n 2 utledes matematisk ved hjelp av Stirling s formel Den formelen følger fra. For en tur på N trinn er det totale antall stier som slutter ved n. For å finne sannsynligheten P n tok vi en av disse stiene, vi deler ved antall alle mulige stier, som er 2 N. Bruk Stirling s formel. bruker for liten x høyre side blir just. Actually, kan vi selv få multiplikasjonsfaktoren for den store N grensen n mye mindre enn N ved å bruke en mer nøyaktig versjon av Stirling s formel, Dette gir. For N 100, gir dette P 0 0 08, innenfor 1, som vi fant med Excel Normaliseringen kan kontrolleres i grensen ved hjelp av standardresultatet for Gauss-integralet, og husk at Pn bare er null, hvis Nn er jevn. Så, hvor langt skal du Forvent å avslutte. Siden forover og bakover trinnene er like sannsynlige til enhver tid, må den forventede gjennomsnittlige etterbehandlingsposisjonen være tilbake ved opprinnelsen. Det interessante spørsmålet er hvor langt unna opprinnelsen, i gjennomsnitt kan vi forvente å lande, uavhengig av retning For å kvitte seg med retningen, beregner vi den forventede verdien av torget av landingsavstanden fra opprinnelsen, den gjennomsnittlige firkantavstanden, og tar deretter kvadratroten. Dette kalles rotenes gjennomsnittlige firkant eller rms-avstand. For eksempel tar sannsynlighetene for fem trinn gange f rom figuren over, og legger sammen 5 med 5 osv. finner vi forventningsverdien av n 2 er.2 1 32 5 2 2 5 32 3 2 2 10 32 1 2 160 32 5. Det er, rms avstand fra opprinnelse etter 5 trinn er faktisk 5. Rotenes gjennomsnittlige firkantavstand fra opprinnelsen etter en tilfeldig spasertur av n-enhetstrinn er nA fin måte å bevise dette på, for noen trinn er å introdusere ideen om en tilfeldig variabel Hvis x 1 er En slik variabel, det tar verdien 1 eller 1 med samme sannsynlighet hver gang vi sjekker det. Med andre ord, hvis du spør meg. Hva er verdien av x 1, jeg vri en mynt, og svar 1 hvis det er hodet, 1 hvis det s haler På den annen side, hvis du spør meg Hva er verdien av x 1 2 kan jeg umiddelbart si 1 uten å plage å vende en mynt Vi bruker parentes til å angi gjennomsnitt som er forventningsverdier så x 1 0 for en upartisk mynt, x 1 2 1. Endpoint for en tilfeldig spasertur på n trinn kan skrives som summen av n slike variabler. Forventningsverdien av kvadratet av sti lengden er da. Ved å kvadre uttrykket inne, vi får n 2 vilkår n av disse er som x 1 2 og så må lik 1 Alle de andre er som x 1 x 2 Men dette er produktet av to forskjellige myntkast, og har verdi 1 for HH og TT, 1 for HT og TH Derfor er det gjennomsnittet til null, og så kan vi kaste bort alle betingelsene som har to forskjellige tilfeldige variabler. Det følger at. Det følger at rms avvigelsen er n i det generelle tilfellet. Svingninger i et lite volum av gass. Oppsett vi ha en liten boks som inneholder N-molekyler. Vi antar at samspillet mellom molekylene er ubetydelig, de hopper rundt inne i esken selvstendig. Hvis vi på et øyeblikk setter inn en partisjon nedover det eksakte midten av boksen, forventer vi i gjennomsnitt å finne 50 of the molecules to be in the right-hand half of the box. The question is how close to 50 How much deviation are we likely to see Is 51 very unlikely. Since the N molecules are moving about the box in a random fashion, we can assign a random variable yn to each molecule, where yn 1 if the n th molecule is in the right hand half, y n 0 if the nth molecule is in the left-hand half of the box, and the values 1 and 0 are equally probable The total number of molecules N R in the right-hand half of the box is then. This sum of N random variables looks a lot like the random walk In fact, the two are equivalent Define a random variable x n by. Since y n takes the values 0 and 1 with equal probability, x n takes the values 1 and 1 with equal probability so x n is identical to our random walk one-step variable above Therefore. Evidently the sum of an N - step random walk gives the deviation of the number of molecules in half the container from N 2 Therefore, from our random walk analysis above, the expectation value of this deviation is N For example, if the container holds 100 molecules, we can expect a ten percent or so deviation at each measurement. But what deviation in density can we expect to see in a container big enough to see, filled with air molecules at normal atmospheric pre ssure Let s take a cube with side 1 millimeter This contains roughly 10 16 molecules Therefore, the number on the right hand side fluctuates in time by an amount of order 10 16 10 8 This is a pretty large number, but as a fraction of the total number, it s only 1 part in 10 8.The probability of larger fluctuations is incredibly small The probability of a deviation of m from the average value N 2 is. So the probability of a fluctuation of 1 part in 10,000,000, which would be 10 N is of order or about 10 -85 Checking the gas every trillionth of a second for the age of the universe wouldn t get you close to seeing this happen That is why, on the ordinary human scale, gases seem so smooth and continuous The kinetic effects do not manifest themselves in observable density or pressure fluctuations one reason it took so long for the atomic theory to be widely accepted. Modeling and Forecasting Task. From the Forecasting model type drop-down list, select Unobserved components. Optional To include independent variables in the model, expand the Regression Effects heading and select the Include independent variables check box Assign the variables that you want to include in the model to the Independent variables role. To include an irregular component expand the Irregular Component heading and select the Include an irregular component check box An irregular component is included by default. The irregular component corresponds to the overall random error in the model The initial variance is the value used as the initial value during the parameter estimation process To change this value, select Specify variance and enter a different value To keep this value as your initial variance, select Fix variance value. To include a trend component expand the Trend Component heading The level component and the slope component combine to define the trend component for the model If you specify both a level and slope component, then a locally linear trend is obtained If you omit the slope component, then a local level is used. To include a level component in the model, select the Include a level component check box The level component is included by default Then you can specify whether to change the initial variance which is 0 by default and whether to check for level breaks. To include a slope component in the model, select the Include a slope component check box Then you can specify whether to change the initial variance which is 0 by default. Optional To include a seasonal component the season length must be greater than one Expand the Seasonal Component heading and select the Include a seasonal component check box Specify the type of seasonal component A seasonal component can be one of two types dummy or trigonometric You can also specify whether to change the initial variance which is 0 by default. Optional To include a cycle component expand the Cycle Component heading and select the Include a cycle component check box You can specify these options. To specify an initial cycle period to use during the parameter estimation process, select the Specify cycle period check box Then specify the initial value in the box This value must be an integer greater than 2 By default, the initial value is 3.To specify an initial damping factor to use during the parameter estimation process, select the Specify damping factor check box, and then specify the initial value in the box You can specify any value between 0 and 1 excluding 0 but including 1 By default, the initial value is 0 01.To specify an initial value for the disturbance variance parameter that the task uses during the parameter estimation process, select the Specify variance check box Then specify the initial value in the box This value must be greater than or equal to 0 By default, the initial value is 0.Under the Plots heading, se lect the plots to include in the results You can choose from a variety of residual plots, smoothed component estimates, filtered component estimates, and series decomposition and forecast plots.